A third-order finite difference weighted essentially non-oscillatory scheme with shallow neural network

本文介绍了基于神经网络的有限差分加权本质非振荡（WENO）格式，用于求解双曲守恒律方程。我们采用监督学习方法，设计了两种损失函数，一种是均方误差，另一种是均方对数误差，其中WENO3-JS 权重被计算为标签。每个损失函数由两个部分组成，第一个部分比较神经网络权重和WENO3-JS 权重之间的差异，而第二个部分匹配神经网络输出权重和线性权重。前者的损失函数强制神经网络遵循WENO 属性，意味着不需要后处理层。此外，后者可以在不连续性周围实现更好的性能。作为神经网络结构，我们选择浅层神经网络（SNN）以提高计算效率，其中Delta层由归一化未分割差异组成。这些构建的WENO3-SNN格式在一维示例中显示了优越的结果，并且与WENO3-JS和WENO3-Z的模拟相比，在二维示例中表现出改进的行为。

本论文旨在介绍基于神经网络的有限差分加权本质非振荡（WENO）方案，用于求解双曲守恒律方程。具体而言，论文试图解决如何使用神经网络来实现WENO方案，以提高求解双曲守恒律方程的准确性和效率的问题。

论文的关键思路是使用神经网络来实现WENO方案。与现有的WENO方案相比，该方法不需要后处理层，并且在处理间断时表现更好。

论文使用了受监督学习的方法，设计了两个损失函数，并采用了浅层神经网络（SNN）结构。论文的实验结果表明，WENO3-SNN方案在一维和二维求解中均表现出优异的性能，比WENO3-JS和WENO3-Z更为准确和高效。该研究可为求解双曲守恒律方程提供新思路和方法。

最近在这个领域中，还有一些相关的研究，如：基于神经网络的其他数值方法（如有限体积法和有限元法）以及其他求解双曲守恒律方程的方法（如基于重构的方法和基于波前跟踪的方法）。