Categorical Schrödinger Bridge Matching

薛定谔桥（SB）是一个强大的框架，用于解决生成建模任务，例如非配对域转换。大多数与SB相关的研究集中在连续数据空间 \(\mathbb{R}^{D}\) 上，而关于将SB方法应用于离散数据（例如有限空间 \(\mathbb{S}^{D}\) 上的理论和算法问题仍然悬而未决。这类集合 \(\mathbb{S}\) 的显著例子包括现代自编码器中向量量化（VQ）表示的码本、文本中的标记、分子中原子的类别等。在本文中，我们为使用最近引入的迭代马尔可夫拟合（IMF）过程在离散空间中求解SB提供了理论和算法基础。具体而言，我们从理论上证明了离散时间IMF（D-IMF）在离散空间中收敛于SB。这使我们能够开发出一个实用的计算算法来求解SB，我们称之为分类薛定谔桥匹配（CSBM）。我们通过一系列合成数据和图像的VQ表示的实验展示了CSBM的性能。

该论文试图解决将Schrödinger Bridge (SB) 方法应用于离散数据空间的问题，例如有限集合上的数据。这是一个相对较少被探索的领域，大多数现有研究集中在连续数据空间上。

关键思路是通过引入和应用Iterative Markovian Fitting (IMF) 程序来为离散空间中的Schrödinger Bridge提供理论和算法基础。具体来说，论文证明了离散时间IMF (D-IMF) 的收敛性，并开发了一个名为Categorical Schrödinger Bridge Matching (CSBM) 的实用计算算法。这一方法的新颖之处在于它填补了SB方法在离散数据处理方面的理论和技术空白。

论文展示了CSBM算法在合成数据和图像的VQ表示上的性能。实验设计包括使用合成数据集和真实世界的VQ图像表示，验证了所提出方法的有效性。虽然论文没有明确提到开源代码，但其提出的理论和算法框架为进一步研究提供了坚实的基础。值得继续深入研究的方向包括扩大CSBM的应用范围、优化算法效率以及探索更多实际应用场景。

最近在这个领域的相关研究包括： 1. 'Continuous-time models for stochastic optimization algorithms' - 探讨了连续时间模型在优化算法中的应用。 2. 'Vector Quantized-Variational AutoEncoders (VQ-VAE)' - 提出了用于生成模型的向量量化变分自编码器。 3. 'Markov Processes and the Schrödinger Problem' - 深入讨论了马尔可夫过程与Schrödinger问题之间的关系。 4. 'Discrete Schrödinger Bridges via Graphical Models' - 尝试通过图模型解决离散Schrödinger桥问题。