ODE-DPS: ODE-based Diffusion Posterior Sampling for Inverse Problems in Partial Differential Equation

近年来，我们见证了深度学习数学的增长，它已被用于解决偏微分方程的反问题。然而，大多数基于深度学习的反演方法要么需要成对数据，要么需要重新训练神经网络以适应反问题条件的修改，这显著降低了反演的效率并限制了其适用性。为了克服这一挑战，在本文中，我们利用基于分数的生成扩散模型，引入了一种新的无监督反演方法，专门用于解决由PDE引起的反问题。我们的方法在贝叶斯反演框架内运作，将解决后验分布的任务视为通过解决反向时间随机微分方程实现的条件生成过程。此外，为了增强反演结果的准确性，我们提出了一种基于ODE的扩散后验采样反演算法。该算法源于满足相同Fokker-Planck方程的两个不同正向生成过程的边缘概率密度函数。通过一系列涉及各种PDE的实验，我们展示了我们提出的方法的效率和鲁棒性。

本论文旨在解决深度学习中的反问题，尤其是针对偏微分方程的反问题，需要大量的配对数据或重新训练神经网络的问题。

本文提出了一种基于得分生成扩散模型的无监督反演方法，通过求解反向随机微分方程将后验分布求解任务视为条件生成过程。此外，为了提高反演结果的准确性，提出了一种基于ODE的扩散后验采样反演算法。

本文算法有效地解决了偏微分方程反问题中需要大量配对数据或重新训练神经网络的问题。实验结果表明，本文方法在各种PDE中都表现出高效性和鲁棒性。

最近在这个领域中，也有一些其他相关的研究，例如：“DeepXDE: A Deep Learning Library for Solving Differential Equations”和“Physics-informed neural networks: A deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations”等。