Learning the boundary-to-domain mapping using Lifting Product Fourier Neural Operators for partial differential equations

神经算子，如傅里叶神经算子（FNO），已被证明提供了分辨率独立的深度学习模型，可以学习函数空间之间的映射关系。例如，可以使用神经算子将初始条件映射到偏微分方程（PDE）在未来时间步的解中。尽管神经算子很受欢迎，但它们在仅给定边界数据的情况下预测域内解函数（例如，空间变化的迪利克雷边界条件）的使用仍未被探索。在本文中，我们将这类问题称为边界到域问题；它们在流体力学、固体力学、热传递等领域有广泛的应用。我们提出了一种新颖的基于FNO的架构，名为提升乘积FNO（或LP-FNO），它可以将定义在低维边界上的任意边界函数映射到整个域中的解决方案。具体而言，通过我们提出的提升乘积层，将定义在低维边界上的两个FNO提升到高维域中。我们展示了所提出的LP-FNO在2D泊松方程中的功效和分辨率独立性。

论文试图解决的问题是如何使用神经算子来解决从边界到域的问题。这个问题在流体力学、固体力学、热传导等领域中有广泛的应用。

论文提出了一种新的基于Lifting Product FNO（LP-FNO）的神经算子架构，可以将边界函数映射到整个域中的解决方案。这个思路相对于当前领域的研究有新意。

论文通过实验证明了LP-FNO的有效性和分辨率独立性，特别是在2D Poisson方程中。论文还提供了开源代码。

最近在这个领域中，还有一些相关的研究，如Fourier Neural Operator（FNO），Deep Ritz Method，Neumann Neural Networks等。