Graph Neural Preconditioners for Iterative Solutions of Sparse Linear Systems

预处理是科学学科中迭代求解大型稀疏线性方程组的核心。多种代数方法已被广泛研究和使用，但是，病态矩阵仍然是非常具有挑战性的。我们采用机器学习方法，提出使用图神经网络作为通用预处理器。它们在病态问题上表现出有吸引力的性能，部分原因是它们更好地从适当生成的训练数据中逼近矩阵的逆。对超过800个矩阵的实证评估表明，这些图神经预处理器（GNP）的构建时间比其他广泛使用的预处理器，如ILU和AMG，更具可预测性，而执行时间比使用Krylov方法作为预处理器更快，例如内外GMRES。GNP在解决大规模、具有挑战性的代数问题方面具有强大的潜力，不仅限于偏微分方程，还包括经济学、统计学、图论和优化等领域。

本论文旨在探索使用图神经网络作为通用预处理器来解决大规模、稀疏线性方程组的迭代求解问题。作者试图通过机器学习的方法，解决传统代数方法无法解决的病态矩阵问题。

本论文的关键思路是使用图神经网络作为预处理器，通过适当生成的训练数据更好地近似矩阵的逆，从而在解决病态问题时具有更好的性能。

本论文的实验表明，相比于其他常用的预处理器，如ILU和AMG，使用图神经网络预处理器的构建时间更可预测，执行时间更快。此外，论文还提到，图神经网络预处理器有望解决来自偏微分方程、经济学、统计学、图和优化等领域的大规模、具有挑战性的代数问题。

与本论文相关的研究包括使用深度学习预处理的其他工作，如深度学习加速迭代算法、使用卷积神经网络作为预处理器等。