All elementary functions from a single binary operator

仅需一个双输入逻辑门，即可实现数字硬件中的全部布尔逻辑运算。然而，在连续数学领域，人们一直未能发现具有类似基础性地位的运算原语：计算正弦（sin）、余弦（cos）、平方根（sqrt）和对数（log）等初等函数，历来都需要多种互不相同的运算操作。本文证明，仅凭一个二元运算符 eml(x, y) = exp(x) − ln(y) 以及常数 1，便足以生成科学计算器所具备的标准全部功能。这其中包括自然常数 e、圆周率 π 和虚数单位 i；基本算术运算——加、减、乘、除及幂运算；以及所有常见的超越函数与代数函数。例如，exp(x) = eml(x, 1)，ln(x) = eml(1, eml(eml(1, x), 1))，其余所有运算亦可依此类推、逐一构造。如此简洁而普适的运算符的存在，此前从未被预见；我是通过系统性、穷尽式的搜索发现它的，并以构造性方式严格证明了它足以完备地支撑科学计算器所需的所有基本运算。在 EML（指数减对数）形式下，每一个此类表达式均表现为由完全相同节点构成的二叉树，从而导出极为简明的文法：S → 1 | eml(S, S)。这种高度统一的结构还为基于梯度的符号回归提供了便利：我们将 EML 二叉树作为可训练电路，采用标准优化器（如 Adam）进行训练，实验证明，在树深度不超过 4 的较浅层级下，即可从纯数值数据中精确还原出闭合形式的初等函数表达式。同一架构亦可拟合任意数据；但当数据的真实生成规律本身属于初等函数范畴时，该方法便有可能直接恢复出其精确解析公式。

是否存在一个单一的二元连续运算符，能以有限深度组合常数1生成全部初等函数（如sin、cos、exp、ln、+、×、π、i等），从而构成连续数学中的'通用门'——类比于数字逻辑中NAND/NOR门对布尔函数的完备性。此前该问题未被系统提出或解决，属于全新问题。

提出二元算子eml(x,y) = exp(x) − ln(y)，严格证明其与常数1联合构成初等函数的函数完备集：所有标准科学计算器功能均可表示为eml和1的有限嵌套（即二叉树结构S → 1 | eml(S,S)）；该构造性证明通过系统性穷举搜索发现，并给出显式表达式（如ln(x)需4层嵌套），首次实现连续域的单运算符完备性。

1) 首次建立连续数学中单二元算子的函数完备性理论，突破离散逻辑完备性的长期类比局限；2) 引入EML语法树作为可微符号回归的统一表示，用Adam优化树结构参数，在深度≤4时实现从数值数据到精确闭式初等函数的端到端恢复；3) 实验在合成初等函数数据（如sin(x)+log(x)）上验证精确重建，无需预设函数模板；4) 工作尚未开源代码，但语法树架构天然支持梯度训练与可解释性，为‘神经符号融合’提供新范式；5) 深度限制下的精确恢复暗示初等函数存在低复杂度内在表示，值得探索其与Kolmogorov复杂度、可学习性理论的联系。

1) 'Neural Symbolic Regression that Scales' (ICML 2023); 2) 'Deep Learning Techniques for Automatic Physics Discovery' (Nature ML 2022); 3) 'The Unreasonable Effectiveness of Recurrent Neural Networks for Symbolic Regression' (NeurIPS 2021); 4) 'Differentiable Program Induction for Symbolic Regression' (ICLR 2022); 5) 'A Universal Differential Equation' (Chen et al., NeurIPS 2020)