On the Convergence of Tâtonnement for Linear Fisher Markets

Tatonnement是一种简单、直观的市场过程，根据需求和供应之间的差异进行迭代调整价格。在不同市场假设下，已经研究并证明了许多变体可以收敛到市场均衡，有些情况下收敛速度很快。然而，线性Fisher市场的经典案例长期以来一直难以分析，目前还不清楚在这种情况下tatonnement是否会收敛。我们证明，对于足够小的步长，tatonnement过程给出的价格保证收敛到均衡价格，误差半径很小，取决于步长。为了实现这一点，我们考虑价格空间中的对偶Eisenberg-Gale凸程序，将tatonnement视为该凸程序上的次梯度下降，并利用次梯度下降在误差界条件下的新型最后迭代收敛结果。在这样做的过程中，我们证明了该凸程序满足特定的误差界条件，即二次增长条件，并且由tatonnement生成的价格序列在上限上有界且远离零。我们还证明，在准线性Fisher市场中，tatonnement的类似收敛结果成立。进行数值实验以证明理论上的线性收敛与实证观察一致。

本论文旨在解决线性Fisher市场中的tâtonnement是否收敛的问题。

本论文将tâtonnement过程视为对价格空间中的对偶Eisenberg-Gale凸规划的次梯度下降，并利用子梯度下降的最后迭代收敛结果，证明了在步长足够小的情况下，tâtonnement过程的价格收敛于市场均衡价格。

论文证明了线性Fisher市场和拟线性Fisher市场中tâtonnement的收敛性，并进行了数值实验以验证理论结果。论文还提出了一种新的错误界限条件，即二次增长条件。

在相关研究方面，最近的研究主要集中在tâtonnement算法的收敛性和效率方面。其中一些论文包括“Convergence of Tatonnement to Approximate Walrasian Equilibrium in Convex and Quasi-Convex Economies”和“Tatonnement Algorithms for Generalized Fisher Markets with Gross Substitutes”。