Injective Sliced-Wasserstein embedding for weighted sets and point clouds

我们提出了$\textit{Sliced Wasserstein Embedding}$，这是一种将多重集合和$\mathbb{R}^d$上的分布嵌入到欧几里得空间中的新方法。我们的嵌入是单射的，并且近似保持了切片Wasserstein距离。此外，当限制在多重集合上时，它是双Lipschitz的。我们还证明，即使在假设它们的支持是有界和有限的情况下，也$\textit{不可能}$以双Lipschitz的方式将$\mathbb{R}^d$上的分布嵌入到欧几里得空间中。我们通过实验证明，与现有的处理多重集合的方法相比，我们的嵌入在学习任务中具有实际优势。

论文试图将多重集合和分布嵌入到欧几里得空间中，并近似保留Sliced Wasserstein距离。同时，论文还试图证明即使在支持有界且有限的情况下，将分布嵌入到欧几里得空间中也是不可能进行双Lipschitz嵌入的。

论文提出了Sliced Wasserstein Embedding方法，将多重集合和分布嵌入到欧几里得空间中。该方法具有注入性，并近似保留Sliced Wasserstein距离。此外，当限制在多重集合上时，它是双Lipschitz的。相比于现有的处理多重集合的方法，该方法在学习任务中具有实际优势。

论文证明了将分布嵌入到欧几里得空间中是不可能进行双Lipschitz嵌入的；论文提出的Sliced Wasserstein Embedding方法具有注入性，并近似保留Sliced Wasserstein距离；在多重集合上的嵌入是双Lipschitz的；论文通过实验证明了该方法在学习任务中的实际优势。

最近的相关研究包括：Learning with Wasserstein Loss、Wasserstein Discriminant Analysis、Wasserstein GAN、Wasserstein Auto-Encoder等。