PTPI-DL-ROMs: pre-trained physics-informed deep learning-based reduced order models for nonlinear parametrized PDEs

将 Proper Orthogonal Decomposition (POD) 和基于深度学习的 ROMs (DL-ROMs) 相结合已被证明是一种成功的策略，用于构建非侵入式、高精度的代理模型，以实时求解参数非线性时变 PDEs。POD-DL-ROMs 的计算成本较低，同时由于其复杂度有限，训练速度相对较快。然而，POD-DL-ROMs 仅通过训练数据考虑了控制问题的物理规律，这些数据通常是通过全阶模型 (FOM) 获得的，该模型依赖于底层方程的高保真离散化。此外，POD-DL-ROMs 的精度强烈依赖于可用数据的数量。本文考虑通过强制在训练过程中满足控制问题的物理规律，即使它们是物理上知识的，来扩展 POD-DL-ROMs。以此来弥补可能存在的缺乏或不可用数据的问题，提高整体可靠性。为此，首先在 POD-DL-ROMs 中补充了一个主干网络结构，使其能够计算空间域中每个点的问题解，并最终通过强连续形式实现无缝计算基于物理的损失。然后，我们介绍了一种有效的训练策略，以限制物理知识训练阶段所带来的巨大计算负担。特别地，我们利用少量可用数据开发了一种低成本的预训练过程；然后，我们微调架构以进一步提高预测可靠性。最后，我们在一组测试案例上评估了预训练的物理知识 DL-ROMs (PTPI-DL-ROMs) 的精度和效率，这些案例涵盖了非仿射参数化的对流扩散反应方程和流体流动的 Navier-Stokes 方程等非线性问题。

本论文旨在通过引入物理知识来改进POD-DL-ROMs的准确性和可靠性，从而解决由于数据缺乏或不可用而导致的问题。

论文的关键思路是通过引入一个基于物理的损失函数来保证POD-DL-ROMs满足物理定律，并通过预训练和微调的方法来提高预测的可靠性。

论文使用了一个基于物理的损失函数来保证DL-ROMs满足物理定律，并且通过预训练和微调的方法来提高预测的可靠性。实验结果表明，这种方法在处理非线性偏微分方程的问题时具有很高的准确性和效率。

最近在这个领域中，也有一些相关的研究，如'Physics Informed Deep Learning for Nonlinear Partial Differential Equations'和'Physics-Informed Neural Networks for High-Dimensional Partial Differential Equations'等。