Towards Variational Flow Matching on General Geometries

我们引入了黎曼高斯变分流匹配（RG-VFM），这是变分流匹配（VFM）的一种扩展，它利用黎曼高斯分布对结构化流形上的生成建模进行改进。我们推导出具有封闭形式测地线的流形上概率流的变分目标，使得RG-VFM在这个几何设定下可以与黎曼流匹配（RFM）相媲美，尽管两者在本质上有所不同。在包裹于球体上的棋盘数据集上的实验表明，RG-VFM比欧几里得VFM和基准方法更有效地捕捉几何结构，确立了其作为流形感知生成建模的强大框架的地位。

该论文试图解决在结构化流形上进行高效和准确的生成建模的问题。传统的生成模型通常假设数据位于欧几里得空间中，但许多现实世界的数据（如图像、文本等）实际上具有内在的几何结构，这些结构可以通过流形来更好地表示。因此，这篇论文提出了一种新的方法，以更好地捕捉这种几何结构。

RG-VFM的关键思路是通过引入黎曼高斯分布来扩展变分流匹配（VFM），从而在具有封闭形式测地线的流形上推导出概率流的变分目标。这种方法使得RG-VFM能够在保持几何结构的同时进行有效的生成建模。与现有的Riemannian Flow Matching (RFM)不同，RG-VFM提供了一个更灵活且强大的框架，用于处理非欧几里得数据。

实验部分展示了RG-VFM在球面上的棋盘数据集上的优越性能，证明了它比欧几里得VFM和其他基线方法更能有效地捕捉几何结构。此外，作者还提供了详细的实验设计，包括使用特定的数据集，并讨论了未来可以进一步探索的方向，例如将RG-VFM应用于更复杂的流形或更大的数据集。虽然论文没有明确提到代码开源，但其方法论的清晰描述为后续研究提供了坚实的基础。

最近在这个领域内的相关研究还包括：1. 'Riemannian Continuous Normalizing Flows' 提出了在流形上定义连续归一化流的方法；2. 'Geometrically Enriched Latent Spaces' 探讨了如何将几何信息融入潜在空间；3. 'Learning Geometric Structure via Neural Manifold Alignment' 研究了通过神经网络对齐流形以学习几何结构。