Convergence of Kinetic Langevin Monte Carlo on Lie groups

最近，基于变分优化和左平移等技术，构建了一种优化李群上函数的显式动量动力学。我们适当地添加可处理的噪声到优化动力学中，将其转化为采样动力学，利用动量变量是欧几里得的这一优势，尽管潜在函数存在于流形上。然后，我们通过精细地离散化所得到的动量-朗之万型采样动力学，提出了一种李群MCMC采样器。这种离散化完全保留了李群结构。在W2距离下，连续动力学和离散采样器的指数收敛性和显式收敛率都得到了证明。只需李群的紧致性和潜在函数的测地L-平滑性。据我们所知，这是第一个在曲面上应用动量朗之万的收敛结果，也是第一个不需要凸性或至少不需要明确要求任何共同放松（如等周性）的定量结果。

本论文旨在构建一种基于动量的优化动态，用于优化Lie群上的函数，并将其转化为可采样的动态，最终提出了一种Lie群MCMC采样器。

论文的关键思路是将动量变量与潜在函数变量分离，通过添加可追踪的噪声将优化动态转化为采样动态，然后通过精细离散化来保留Lie群结构，最终证明了连续动态和离散采样器在W2距离下的指数收敛性。

该论文提出的方法是第一种在曲面上应用动量Langevin的收敛分析，并且不需要凸性或同构性等常见的松弛条件。该论文还提供了实验结果，并且使用了一些开源数据集。

最近在这个领域中，还有一些相关的研究，如“Hamiltonian Monte Carlo on Riemannian manifolds”和“Riemannian Langevin Monte Carlo with an Application to Online Learning”。