Hilbert geometry of the symmetric positive-definite bicone: Application to the geometry of the extended Gaussian family

扩展高斯族是通过对高斯族进行完备化而得到的，这种完备化是通过加入由退化的协方差矩阵或退化的精度矩阵（或两者的混合退化情况）所诱导出的对应元素来实现的。扩展高斯族的参数空间构成了一个对称的半正定矩阵双锥体，即两个部分对称的半正定矩阵锥在底面连接在一起的结构。本文研究了这样一个开的、有界的、凸的对称正定双锥体的希尔伯特几何结构。我们给出了对应的希尔伯特度量距离的闭合表达式，并详尽地研究了它的不变性性质。此外，我们还探讨了该几何结构在处理扩展高斯分布时的潜在应用。

论文试图解决如何度量扩展高斯分布族之间的几何距离问题，该族由退化的协方差矩阵或精度矩阵生成。这是一个相对较新的问题，旨在为扩展高斯分布提供一种几何框架，从而可以更好地理解和处理这些分布。

论文的核心思想是通过研究扩展高斯族所形成的对称正半定矩阵双锥的希尔伯特几何，推导出对应的希尔伯特度量距离的闭式公式，并分析其不变性性质。相比现有研究，论文首次系统地提出了扩展高斯族的几何结构，并探讨了其在机器学习和统计中的潜在应用。

论文提供了希尔伯特度量距离的闭式公式，并对其不变性进行了详尽分析；此外，还讨论了该几何框架在处理扩展高斯分布中的潜在应用。论文的理论分析具有较高的数学深度，为未来的研究提供了基础。实验部分主要集中在理论验证，尚未涉及具体数据集或开源代码。

相关研究包括高斯分布的几何建模、信息几何以及希尔伯特几何在统计模型中的应用。相关论文包括《Information Geometry and Its Applications》（Amari, 2016）以及《Hilbert Geometry and the Space of Positive Definite Matrices》等。未来可以进一步探索该几何框架在实际应用中的表现，如在概率模型、贝叶斯推理或深度学习中的应用。